Дифференциальные уравнения первого порядка - высшая математика решение задач

Ищите кому заказать высшую математику?  Присылайте своё задание на почту  pashkova_g_n@mail.ru , стучитесь в ICQ 606849821 . После ознакомления с заданием я вышлю Вам свой ответ с указанием цены и срока выполнения работы. О способах оплаты читайте тут

 

Дифференциальным уравнением первого порядка называют соотношение вида  , где  – независимая переменная (аргумент),  – неизвестная функция аргумента  – заданная функция трех переменных , изменяющихся в некоторой области трехмерного пространства.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными в высшей математике  называется дифференциальное уравнение первого порядка вида  

Пример
Решить уравнение . В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию  
Учитывая, что  и вынося за скобки y, получим , или, что то же самое, . Разделив обе части уравнения на произведение  получим: . Интегрируем обе части последнего равенства: . Учитываем то, что  и сокращаем обе части равенства на : . Произвольную постоянную  удобно представить в виде . Тогда , откуда и получаем ответ . Учтем заданное условие . Следовательно, искомое частное решение есть . Дифференциальное уравнение  называется однородным, если  – однородная функция нулевой степени.
Дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме является однородным, если  – однородные функции одной степени. 
Замена  приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 

Решить уравнение . Найти решение, удовлетворяющее начальному условию . 

Данное уравнение однородное. Произведя замену , получим (здесь мы учли, что ). Сокращаем на . Учитывая, что , получим . Интегрируем полученное равенство:. Обозначая и учитывая , получаем ответ . Для данного начального условия : . Следовательно, искомое частное решение есть. Дифференциальные уравнения вида  называются линейными. Существуют несколько методов их решения: метод Бернулли, метод Лагранжа, метод интегрирующего множителя.
Метод Бернулли
Решение уравнения  ищется в виде . При этой замене получаем: Функцию  выбирают из условия . Полученную функцию  подставляют в уравнение  (учитываем), решая которое находят функцию . 
Пример
Решить уравнение . 

Полагая  и учитывая , получим . Преобразуем полученное уравнение: . Функцию  выберем из условия u`+ 2xu = 0. Учитывая , получаем . Интегрируем это равенство:  ( см. примечание). 
Подставляя полученный результат  в уравнение , и учитывая, что при , получим . Сократим последнее равенство на  и учтем . Учитывая , ответ будет таким:. 
Примечание
При интегрировании равенства , получается результат , откуда следует, что  или . Однако в методе Бернулли нас интересует не все множество функций , а лишь одна функция из этого множества. Проще всего принять  и выбрать , тогда .