ICQ 357614154 Позвонить
8 903 995-9535

Здесь находится аттестат нашего WM идентификатора 335815356048
Проверить аттестат

Интегральное исчисление функций одной переменной

Ищите кому заказать высшую математику?  Присылайте своё задание на почту v.fractus@yandex.ru стучите в icq 399737399 - договоримся. Мои реквизиты: wm R369090715159 Яндекс деньги 41001780003049 . После ознакомления с заданием я вышлю Вам свой ответ с указанием цены и срока выполнения работы. О способах оплаты читайте тут
 
Настоящий интерактивный справочник по интегральному исчислению функций одной переменной предназначен для студентов физико-математических факультетов. При составлении его мы придерживались существующей программы курса. Рекомендуемый материал ставит своей целью оказать существенную помощь студенту-заочнику в овладении техникой интегрирования и решении разнообразных задач на приложения определенного интеграла. Поэтому данное руководство следует рассматривать как некоторую замену аудиторных практических занятий по интегральному исчислению.
 
 В ряде мест даются пояснения и замечания практического характера, а также те формулы, на которые делаются ссылки. В конце приводятся дополнительные примеры и задачи повышенной трудности для самостоятельной работы. Эти дополнительные примеры и задачи в своей совокупности как бы часть, не обязательную для каждого студента.
 
 Большое число типовых примеров и задач снабжено подробными решениями, которые нужно внимательно разобрать, прежде чем приступить к решению примеров и задач, данных в качестве материала для самостоятельной работы. К наиболее трудным примерам и задачам, предложенным для самостоятельной работы, даны указания.
 
 Данное руководство составлено в основном применительно к учебникам Г. М. Фихтенгольца «Основы математического анализа», т. I и Н. А. Фролова «Дифференциальное и интегральное исчисление». При составлении были использованы действующие в настоящее время различные руководства по математическому анализу.
 
 Так например, в тему «Неопределенные интегралы» включены: непосредственное интегрирование; интегрирование методом замены переменной; метод интегрирования по частям; специальные приемы интегрирования некоторых алгебраических функций; специальные приемы интегрирования некоторых тригонометрических выражений; интегрирование рациональных функций; интегрирование некоторых иррациональных выражений; интегрирование простейших трансцендентных функций. По теме «Определенные интегралы» освещены вопросы: вычисление определенного интеграла непосредственным суммированием; вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона — Лейбница; замена переменной в определенном интеграле; интегрирование по частям в определенном интеграле; приближенное вычисление определенных интегралов. А так же рассмотрены приложения определенного интеграла в геометрии, такие как вычисление площадей плоских фигур, вычисление объемов, длина дуги плоской кривой, площадь поверхности вращения; и приложения определенного интеграла к вопросам механики и физики, такие как вычисление статических моментов и центра тяжести кривой и плоской фигуры.
 
 Приступим к систематическому изложению обозначенного материала. Желательно, чтобы предварительно были изучены упомянутые выше учебники Г. М. Фихтенгольца и  Н. А. Фролова.
 
 Метод непосредственного интегрирования является одним из простейших методов. Он опирается на таблицу основных интегралов и основные свойства неопределенного интеграла. Эту таблицу следует знать наизусть.
 
 Ниже нам также часто придется ссылаться на два основных свойства (или правила) неопределенного интеграла, заключающих в себе линейность данного оператора: 1) константа может быть вынесена за знак интеграла и 2) интеграл суммы равен сумме интегралов. Напомним, что правильность выполненного интегрирования проверяется дифференцированием полученного результата, которое должно дать подынтегральную функцию. При необходимости так можно проверить, что данный интеграл вычислен верно. В то же время, нет необходимости после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, ибо сумма произвольных постоянных есть также произвольная постоянная, которую мы и пишем в конце.
 
 Интегралы от некоторых функций можно вычислить путем несложных преобразований подынтегральных функций. Зачастую интеграл представляют в виде разности двух интегралов и затем интегрируют с помощью формул. Не редко удобно применить подстановку. Особо следует заметить, что, несмотря на отдельные указания относительно выбора подстановок при вычислении некоторых типов интегралов, не следует слепо придерживаться какого-то раз навсегда установившегося шаблона в выборе подстановки. Весьма часто встречаются интегралы, которые могут быть взяты с помощью нескольких подстановок, и искусство вычислителя состоит в том, чтобы применить ту из них, которая быстрее и проще приводит к цели, а это достигается большой практикой. Поэтому всегда обращайтесь за советами к профессионалам. Ведь с помощью удачно подобранных подстановок или простейших преобразований подынтегральных выражений вычислить интегралы не составит труда.
Наиболее мощным является метод,  опирающийся на формулу интегрирования по частям, несмотря на то, что метод интегрирования по частям имеет более узкую область применения, чем метод подстановки, есть такие интегралы, которые могут быть взяты >только с помощью< метода интегрирования по частям. При вычислении интеграла можно несколько раз применять правило интегрирования по частям. 
Обособлено стоит некоторые типы интегралов, для вычисления которых не потребуется никаких дополнительных сведений, кроме тех, которые мы изложили выше.
 
 Особенно в высшей математике  доставляют интегралы от некоторых тригонометрических выражений, интегрирование которых после несложных предварительных преобразований выполняется с помощью легко усматриваемых подстановок. Заметим, однако, что если под знаком интеграла мы имеем неправильную рациональную дробь, то мы всегда можем с помощью деления выделить из нее целую часть (т. е. многочлен), интегрирование которой осуществляется непосредственно. Поэтому в дальнейшем мы сосредоточим внимание исключительно на интегрировании правильных рациональных дробей (т. е. таких, у которых степень числителя ниже степени знаменателя). Ведь известно, что интегрирование правильной рациональной дроби в конечном итоге водится к интегрированию простейших (или элементарных) дробей четырех типов.
 
 Итак, интеграл от каждой простейшей дроби вычисляется до конца (или, как принято говорить, берется в конечном виде) и выражается через элементарные функции. Значит, и всякая рациональная функция интегрируется также в конечном виде и интеграл от нее выражается через рациональные функции, логарифмы, арктангенсы. Следовательно, особый интерес представляет задача разложения рациональной функции в сумму простейших.
 
 Широкое распространение получил метод определения коэффициентов разложения носящий название метода неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что если нам известна форма разложения дроби на простейшие, но мы не знаем его коэффициентов, то сперва пишут вместо них буквенные коэффициенты, а затем из системы линейных уравнений определяют их численные значения.
 
 Такой способ определения коэффициентов обычно называют методом частных значений. Его основное достоинство – способ требует затраты значительно меньшего труда и потому заслуживают особого внимания при интегрировании рациональных дробей. Если корни многочлена в знаменателе только вещественные, то для определения неизвестных коэффициентов целесообразно пользоваться именно этим способом. В остальных случаях для определения неизвестных коэффициентов можно комбинировать оба способа: способ частных значений и способ неопределенных коэффициентов. Как это делается, мы расскажем Вам.
 
  В качестве бесплатного бонуса, рассмотрим интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского. Ранее мы видели, что интегрирование некоторых рациональных дробей часто связано с утомительными выкладками. Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей. Уже тот факт, что этот метод исключает вопрос вычисления интеграла от простейшей дроби, интегрирование которой всегда сопровождается значительными выкладками, делает его особенно ценным. В основе указанного метода лежит следующая формула Остроградского. Как практически выполняется интегрирование правильных рациональных дробей с помощью метода Остроградского, легко понять на примере.
 
  Применяя метод Остроградского, можно вычислить достаточно сложные интегралы. Если мы имеем интеграл от некоторой иррациональной функции, то иногда удачно выбранной подстановкой удается преобразовать его в интеграл от рациональной функции и тем самым положительно решить вопрос об интегрируемости в конечном виде данной иррациональности. Такое преобразование интеграла принято называть его рационализацией. Воистину всемогущей можно назвать подстановку Эйлера. Теоретическая ценность подстановок Эйлера очевидна, однако следует отметить, что на практике они часто приводят к сложным выкладкам, и поэтому пользоваться ими нужно только в крайнем случае, когда других путей нет.
 
  Многие интегралы от тригонометрических функций могут быть вычислены не только применением указанных выше подстановок, но и с помощью некоторых преобразований подынтегральной функции. Для этих преобразований нельзя дать никаких общих правил, а всякий раз индивидуальные особенности подынтегральной функции должны подсказать те преобразования, которые ведут к цели более простым и коротким путем. 
 
Не забывайте, что многие интегралы легко берутся непосредственно, если воспользоваться удачным преобразованием подынтегральной функции.
 
 Дальнейшим шагом служит освоение инструментария, необходимого для вычисления определенных интегралов. 
Основной способ вычисления определенного интеграла методом суммирования основан на его определении как предела интегральной суммы. Можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии. 
 
 Со школьного курса математики, хорошо знакома и формула Ньютона—Лейбница (заметьте, что это не имя–фамилия, а два разных человека). Применение этой формулы осложняется разве что необходимостью вычисления первообразной функции.
Известно, что формула замены переменной или подстановки в определенном интеграле выражается равенством, в доказательстве которого нужно должен тщательно разобраться, обратив особое внимание на те условия, при которых подстановка будет законной. Дело в том, что при интегрировании часто приходится последовательно применять метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
Незаменимыми остаются численные методы. Известно, что основное назначение и практическая ценность различных способов приближенного интегрирования заключается в том, что они позволяют находить приближенное значение интеграла, не поддающегося точному вычислению. Разумеется, можно вычислить ординаты и с большим числом знаков, но результаты показывают, что такое вычисление совершенно бесполезным, ибо нет никакой уверенности за второй знак после запятой. Если же ординаты вычислить с двумя знаками после запятой, то в результате ошибки от округления ординат помогут получить худший результат, чем тот, который получили применяя формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и другие.
 
 Перейдем теперь к практическому применению интегрального исчисления. Для того чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, необходимо знать абсциссы точек пересечения графиков функций. Для этого решается совместная система уравнений. Можно решать и более сложные задачи, если про извести предварительный анализ исследуемой фигуры на предмет симметрии или разбить её на более мелкие фрагменты. Только представьте, какие красоты открываются перед исследователем, творчески подходящим к решению поставленной перед ним задачи!  Будучи окрыленным успехами, вполне естественно рассмотреть эллиптический параболоид, который рассечен на две части плоскостью, проходящей через центр основания параллельно образующей и используя метод сечений, найти объемы обеих частей конуса. Заметьте, в силу симметрии данного тела относительно координатных плоскостей достаточно вычислить объем восьмой части тела. В этом случае удобно рассмотреть сечения, образованные плоскостями, параллельными осям обоих цилиндров; в сечении получаются прямоугольники. Более того, кривая представляет собой эллипс с центром в центре координат, симметрично расположенный относительно биссектрис координатных углов; а из уравнения данной кривой видно, что она симметрична относительно оси абсцисс. Поэтому достаточно вычислить длину дуги одной ветви кривой (например, верхней) и результат удвоить. 
 
  Идем далее. Оказывается, понятие интеграла можно обобщить и на случай, когда в промежутке интегрирования подынтегральная функция обращается в бесконечность в одной или нескольких точках. Не секрет, что при вычислении интегралов такого рода (они называются несобственными) можно использовать формулу Ньютона — Лейбница, если только интегрируемая функция непрерывна на всем промежутке. Это замечание используется и в некоторых прикладных задачах, где подынтегральная функция в какой-нибудь точке промежутка интегрирования обращается в бесконечность.
 
  И в заключение перечислим основные приложения определенного интеграла к вопросам механики и физики.
В первую очередь, конечно, это нахождение координат центра тяжести. Очевидно, что центр тяжести кривой может лежать на биссектрисе первого координатного угла, и это не случайно — на этот счет следует иметь в виду следующее замечание: если кривая АВ симметрична относительно некоторой прямой, то ее центр тяжести лежит на этой прямой. То же самое можно сказать относительно центра тяжести плоской фигуры.
 
  Интересно отметить, что центр тяжести данной дуги кардиоиды лежит на биссектрисе первого координатного угла, хотя сама дуга и несимметрична относительно этой биссектрисы.
 
  Во вторых это нахождение статических моментов, излюбленное занятие профессиональных инженеров, что наверняка и Вам пригодится при решении контрольных работ по высшей математике, но никак не при взломе аккаунтов vkontakte на заказ. Пользуясь симметрией фигуры и тем, что статический момент фигуры относительно оси равен сумме статических моментов ее частей относительно той же оси, достаточно вычислить статический момент относительно оси ОУ половины фигуры, лежащей над осью ОХ, и результат удвоить.
 
cup Вход на сайт

www.megastock.ru Univer2.Ru. Copyright © 2010. All rights reserved.