ICQ 357614154 Позвонить
8 903 995-9535

Здесь находится аттестат нашего WM идентификатора 335815356048
Проверить аттестат

Исследование функции - матан

 Ищите кому заказать высшую математику?  Присылайте своё задание на почту  v.fractus@yandex.ru стучите в icq 399737399 - договоримся. Мои реквизиты: wm R369090715159 Яндекс деньги 41001780003049 . После ознакомления с заданием я вышлю Вам свой ответ с указанием цены и срока выполнения работы. О способах оплаты читайте тут
 
 А на этой страничке мы научимся строить графики элементарных функции и, наоборот, по форме графика определять соответствующую ему элементарную функцию. Только запаситесь терпением, эти функции названы элементарными далеко не за их простоту, но обо всем по порядку. 
Действительная функция от действительного переменного х это однозначное отображение подмножества действительных чисел во множество действительных чисел f(x). Множество точек с координатами (х, f(x)) называется графиком функции. Графики функций это в общем случае кривые, которые пересекаются с каждой прямой, параллельной оси у, не более чем в одной точке. Ниже постараемся дать словестное описание графиков наиболее распространенных функций, это сравнимо с попыткой объяснить слепому все красоты радуги, поэтому не судите слишком строго, тем не менее, начнем, пожалуй.
 
  Традиционно, в курсе высшей математики,  к разряду элементарных относят все алгебраические функции, в частности, целые рациональные и постоянные функции. Например, функция у=0 отображает каждое действительное число х в число нуль. Считается, что она не является никакой (конечной) степенью аргумента. Ее график  - ось х. Функция у=а есть функция нулевой степени от аргумента. Графиком такой функции является прямая, параллельная оси х и пересекающая ось у в точке (0, а).
 
 Линейные функции это функции вида у = ах + b. Графиком такой функции является прямая, проходящая через точки A(-b/а, 0) и В(0, b). При b= 0 точки А и В совпадают и прямая проходит через начало координат. Функция имеет один нуль x=-b/а.
Если а > 0, то функция монотонно возрастает; если а < 0, то она монотонно убывает. Если b = 0 и а > 0, то говорят, что у прямо пропорционально х, а а называют коэффициентом пропорциональности.
 
 Квадратичные функции: у = ахx + bх + с. График - парабола с осью симметрии, параллельной оси у, и вершиной C(-b/(2а), (4ас - bb)/(4а)). Функция имеет не больше двух нулей. График пересекает ось у в точке В (0, с). В случае положительного дискриминанта D он пересекает ось х в двух точках. При D = 0 кривая касается оси х в одной точке (касание 2-го порядка); при D < 0 точек пересечения с осью х нет. Если а>0, то функция в абсциссе вершины имеет минимум, а при а < 0 — максимум.
 
 Функции третьей степени: у = аххх + bpp + сх + d. График этой функции может иметь различный вид. У него имеется по крайней мере одна (а может быть, и две, и три) точка пересечения с осью х и ровно одна точка перегиба. У функции либо нет экстремумов, либо их два (в последнем случае один максимум и один минимум). Для более точного описания кривой нужны значение коэффициента а и значение D дискриминанта функции. При D > 0 кривая пересекает ось х в трех точках. При D = 0 у кривой две или одна точка пересечения с осью х, причем ровно в одной точке пересечения имеет место касание. При этом точка касания в первом случае считается второго, а во втором случае - третьего порядка. При D < 0 имеется одна (простая) точка пере сечения с осью х. График этой функции называется кубической параболой.
 
 Целые рациональные степени n - графиками этих функций являются кривые без особых точек и без асимптот, имеющие не более n точек пересечения с осью х, не более n-1 экстремумов и не более n-2 точек перегиба.
 
 Обратная пропорциональность задается уравнением у=а/х. График такой функции – равносторонняя гипербола с действительной полуосью равной расстоянию от вершины до центра, с центром в начале координат и с асимптотами - осями координат. Функция имеет один полюс 1-го порядка в точке х = 0. Экстремумов нет. При а > 0 функция в интервалах (-оо, 0) и (0, +оо) монотонно убывает, график лежит внутри первого и третьего квадрантов, вершины гиперболы в двух точках. Говорят, что у обратно пропорционально х, причем в случае нескольких экстремумов максимумы и минимумы чередуются. 
 
 Степенные функции - все графики этих функций проходят через точку (1, 1) и касаются оси х в точке (0, 0). Их иногда называют параболами n-го порядка. Тогда (0, 0) считается точкой n-кратного касания кривой с осью х. Если n четно, то функция имеет в точке х = 0 минимум и график симметричен относительно оси у. Если n нечетно, то точка (0,0) - точка перегиба с горизонтальной касательной.
 
 Рассмотрим теперь нелинейные дробно-рациональные функции. График такой функции также распадается (подобно графикам дробно-линейных функций) на две ветви, так как функция имеет полюс 2-го порядка в точке х = 0. Ось у и прямая, уравнение которой имеет вид х-а=0, - асимптоты этой кривой. Одна из двух ветвей кривой пересекает асимптоту, в то время как другая ветвь при монотонно возрастает или монотонно убывает. Функции имеют один экстремум с соответствующим значением функции.
 
 Идем далее, на встречу иррациональным функциям. Квадратный корень из линейного двучлена может вычисляться с разными знаками. Де-факто рассматривают случай, когда перед радикалом взят знак +, ибо если перед радикалом взят знак -, то график получается зеркальным отражением относительно оси х исходного графика. 
 
 Следующую серию элементарных функций составляют трансцендентные (неалгебраические) функции. Например, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Знакомство с ними начнем с синусоидальной зависимости вообще и обыкновенного синуса в частности. Это периодическая функция с периодом Т. Её график - синусоида пересекающая ось х в бесконечном числе точек, которые одновременно являются точками перегиба кривой. Касательные в этих точках образуют с положительным направлением оси х определенный угол. Максимумы функции лежат где-то рядом. График общей синусоиды с амплитудой А получают из синусоиды аффинным преобразованием: растяжением в А раз в направлении оси у.
 
 Тангенс: у = tg х. Область определения этой функции представляет собой бесконечное число открытых интервалов. В каждом из этих интервалов функция монотонно возрастает и имеет нуль. Функция периодична с периодом Т
 
 Секанс: y = sec x. Эта функция определена в открытых интервалах и имеет полюсы 1-го порядка. Точки пересечения ее графика с осью х — это одновременно и точки перегиба. Касательные в этих точках составляют с положи тельным направлением оси х постоянный угол.
 
 Котангенс: y = ctg x. Область определения этой функции представляет собой бесконечное число открытых интервалов. В каждом из этих интервалов функция монотонно убывает и имеет один нуль в точках. Функция периодическая.
 
 Косеканс: у = cosec x. Функция определяется в открытых интервалах равенством cosec х = 1/sin x; она периодична и график совпадает со сдвинутым по оси х графиком функции у=sec х. Функция имеет минимумы и максимумы. 
 
 Арксинус: у = arcsin x. Эта функция является обратной к функции у = sin x. Функция монотонно возрастает и имеет нуль при х = 0. Ее график - часть синусоиды, зеркально отраженной относительно прямой х-у= 0 (биссектрисы первого и третьего квадрантов).
 
 Арккосинус: у = arccos х. Эта функция является обратной к функции у = cos х. Функция монотонно убывает. Ее график - часть косинусоиды, зеркально отраженной относительно прямой х-у=0. График имеет точку перегиба.
 
 Арктангенс: у = arctg х. Эта функция является обратной к функции у = tg x.
 
 Показательные функции: у = ехр (х), их называют также экспоненциальными. Функция определена при всех значениях х, не имеет ни нулей, ни экстремумов. Ее значения всегда положительны. График проходит через точку (0, 1) и имеет ось х в качестве асимптоты.
Логарифмические функции: у=log x. Они являются обратными функциями для показательных функций. График проходит через точку (1,0) и имеет асимптотой ось у. 
 
 А впрочем, каждый из вас может описать графики всех элементарных функций: начиная с прямые, параболы, гиперболы, эллипсы, графики трансцендентных функций (от синусоды до ареаконангенсоиды), ну и конечно же серия важнейших кривых, типа циссоиды, строфоиды, кардиодиты, лемнискаты, конхоиды, улитки, а так же разные циклоиды и спирали с трактрисами, используя незамысловатый план исследования. Ведь процесс исследования любой функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
 
1) Область определения функции. Точки разрыва. (Если они имеются).
2) Интервалы возрастания и убывания.
3) Точки максимума и минимума.
4) Области выпуклости и вогнутости.
5) Точки перегиба.(Если они имеются).
6) Асимптоты.(Если они имеются).
7) Построение графика.
На этом и порешите.
 
cup Вход на сайт

www.megastock.ru Univer2.Ru. Copyright © 2010. All rights reserved.