ICQ 357614154 Позвонить
8 903 995-9535

Здесь находится аттестат нашего WM идентификатора 335815356048
Проверить аттестат

Матрицы - высшая математика

 Ищите кому заказать высшую математику? Присылайте своё задание на почту  v.fractus@yandex.ru стучите в icq 399737399 - договоримся. Мои реквизиты: wm R369090715159 Яндекс деньги 41001780003049. После ознакомления с заданием я вышлю Вам свой ответ с указанием цены и срока выполнения работы. О способах оплаты читайте тут
 
А сейчас, мой юный друг, познакомимся с операциями над матрицами и их свойствами, узнаем что такое ранг матрицы, как его вычислять с помощью элементарных преобразований. Поймем условие обратимости квадратной матрицы и обоснуем практический способ нахождения обратной матрицы, с помощью определителей.
 
 Первостепенной операцией является сложение матриц и умножение их на число. Всюду предполагается, что элементы всех рассматриваемые матриц принадлежат полю. 
 
 Суммой двух матриц называется такая матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц. Произведением матрицы на число называется такая матрица, каждый элемент которой равен произведению соответственного элемента матрицы на данное число.
 
 Обе эти операции бинарные, причем первая алгебраическая, а вторая – внешняя композиция. Легко проверяется, что для любых матриц и любых чисел справедливы следующие свойства: сложение матриц коммутативно; сложение матриц ассоциативно. Мы видим, что операции сложения и умножения матриц на число обладают такими же свойствами, что и операции сложения и умножения векторов на число в арифметическом пространстве. Казалось бы, естественно умножать матрицы по тому же правилу, что и при сложении, т.е. перемножать соответствующие элементы умножаемых матриц. Однако, такое умножение не имеет в математике больших приложений. Мы укажем другое правило умножения матриц. Дадим его сначала для квадратных матриц порядка.
 
Напомним, что в высшей математике квадратной матрицей i-того порядка называется матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов.
Произведением квадратных матриц в высшей математике называется квадратная матрица того же порядка, каждый элемент которой, находящийся в i-ой строке и j-ом столбце матрицы, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы на соответственные элементы j-го столбца матрицы.
 
 В частности, на примерах видно, что умножение квадратных матриц 3-го порядка некоммутативно. Обозначим через E квадратную матрицу, в которой элемент, находящийся в i-ой строке и i-ом столбце, равен 1, а все остальные элементы равны 0. Такие матрицы называют матричными единицами. Нетрудно проверить следующее правило умножения матричных единиц AE=EA=A. 
 
 Не трудно проверить, что умножение квадратных матриц ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения, обладает свойством линейности, существует единица относительно умножения. Обратная матрица являются симметричным элементом для относительно умножения. Поэтому в случае существования обратная матрица определяется однозначно и произведение обратимых матриц обратимо.
Прямоугольной n×m матрицей над полем называется nm-мерный вектор над полем, записанный виде прямоугольной таблицы из n-строк и m-столбцов. Если n=m, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.
 
Транспонированием матрицы, в решении задач по высшей математике, называют переход к новой матрице, которая получается заменой строк матрицы столбцами в том же порядке следования. Некоторые очевидные свойства операции транспонирования пригодятся в дальнейшем. Из определения непосредственно следует, что две матрицы равны тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой и обозначается буквой О. В дальнейшем будем предполагать, что матрица ненулевая.
Максимальное число линейно независимых векторов-столбцов называется столбцовым рангом матрицы, максимальное число линейно независимых векторов-строк называется строчечным рангом матрицы. Другими словами, столбцовый ранг матрицы – это ранг системы векторов-столбцов, а строчечный ранг – это ранг системы векторов-строк.
 
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:
 
1) Перестановка местами двух строк.
2) Умножение строки на число.
3) Прибавление к одной строке другой, умноженной на любое число.
4) Отбрасывание нулевой строки.
5) Перестановка двух столбцов.
 
 Ежу понятно, что столбцовый и строчечный ранги матрицы не меняются при элементарных преобразованиях. Идея доказательства состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матрица приводится (также как и при решении систем линейных уравнений методом Гаусса вторым способом) к так называемому полудиагональному виду. Доказанная теорема позволяет ввести понятие ранга матрицы.
Рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых векторов-строк или векторов-столбцов. Нахождение ранга матрицы естественно осуществим и с помощью элементарных преобразований, это дает практический способ нахождение ранга матрицы путем приведения ее к полудиагональному виду. На самом деле, приведение матрицы к такому виду было сделано для облегчения. Имея это ввиду, можно облегчить задачу вычисления ранга матрицы, ограничившись приведением матрицы с помощью элементарных преобразований к лестничному (или даже к ступенчатому) виду. В этом случае говорят, что ранг матрицы вычислен с помощью элементарных преобразований. 
Несколько иначе вычисление обратной матрицы производят с помощью определителей.
 
 Дело в том, что квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, т.е. ее определитель отличен от нуля. Поэтому если определитель матрицы отличен от нуля, то для существует обратная матрица, которая вычисляется по вполне определенной формуле, через алгебраические дополнения элементов.
 
cup Вход на сайт

www.megastock.ru Univer2.Ru. Copyright © 2010. All rights reserved.