Однородные дифференциальные уравнения в высшей математике

Дифференциальное уравнение  называется однородным, если  – однородная функция нулевого порядка (в другой терминологии - нулевой степени или измерения). Ниже приведена методика решения задач по высшей математике из этого раздела.
Проще говоря, если после замены  уравнение можно привести к исходному виду, - оно однородное. 
Дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме является однородным, если  – однородные функции одной степени. 
Замена  приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. 

Решить уравнение . Найти решение, удовлетворяющее начальному условию . Убедимся в том, что данное уравнение однородное. Заменим  
. Так как после осуществленной замены уравнение было приведено к исходному виду, то оно является однородным Для решения уравнения вводим замену , получим  (здесь мы учли, что ). Сокращаем на . Учитывая, что. Интегрируем полученное равенство:. Обозначая  и учитывая , получаем ответ . Для данного начального условия. Следовательно, искомое частное решение есть  . 

Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее данному начальному условию  . 
Несложно показать, что данное уравнение относится к однородным. Перепишем его виде  или, учитывая  , получим  . 
Аналогично предыдущему примеру делаем замену  .

Раскрывая скобки в последнем равенстве, получим: 
 . Учитывая  разделим переменные:  . Для интегрирования последнего равенства необходимо учесть, что: 
 
Тогда  перепишем в виде: ,  . Применяя формулы суммы и разности логарифмов в левой части равенства, и переобозначая  в правой части, получим: 
. Так как , значит . Учитывая заданное начальное условие, согласно которому если, найдем значение постоянной  или  

Решить уравнение . 
Нетрудно убедиться в том, что данное уравнение является однородным. Заменяем  
. Учитывая  разделим переменные . Интегрируя последнее уравнение, учтем, что 
. Заменяя .