ICQ 357614154 Позвонить
8 903 995-9535

Здесь находится аттестат нашего WM идентификатора 335815356048
Проверить аттестат

Ряды - высшая математика

Ищите кому заказать высшую математику?  Присылайте своё задание на почту  v.fractus@yandex.ru стучите в icq 399737399 - договоримся. Мои реквизиты: wm R369090715159 Яндекс деньги 41001780003049 . После ознакомления с заданием я вышлю Вам свой ответ с указанием цены и срока выполнения работы. О способах оплаты читайте тут

При изучении рядов требуется иногда умение вычислять или оценивать несобственные интегралы с бесконечными пределами. Поэтому мы начинаем с несобственных интегралов. При их вычислении действуют согласно определения. Если же оба предела интегрирования бесконечны, то предварительно разбиваем данный интеграл на два и вычисляем каждый из них в отдельности. И далее опять по определению. Если каждый из интегралов сходится (то есть имеет конечный предел), то и заданный несобственный интеграл также сходится и численно равен сумме значений вычисленных интегралов.

Не редко требуется лишь исследовать на сходимость несобственный интеграл, в задачах же повышенной сложности – либо вычислить заданные несобственные интегралы, либо установить их расходимость.

 
 Наибольшие затруднения возникают при исследовании интегралов от неограниченных функций. Так как, данный материал не входит в обязательную программу и предназначен для желающих более глубоко изучить вопрос о несобственных интегралах. В этом случае исходную задачу сводят к исследованию пределов. Если пределы в правой части равенства существуют и конечны, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
 
 Когда подынтегральная функция в заданном промежутке неограниченно возрастает, приходим к выводу, что заданный интеграл – несобственный интеграл от неограниченной функции.
 
 В разделе «Ряды» мы используем учебники по высшей математике : Н. А. Фролов, Курс математического анализа, ч. 2, Учпедгиз, и Г. М. Фихтенгольц, Основы математического анализа, т. II, Физматгиз. Приступая к решению задач по этой теме, желательно предварительно изучить теоретический материал. 
 
 К типовым задачам относится, например, такая: «Написать простейшую формулу n-го члена ряда по указанным его первым членам». Для её решение исследуем закономерность, которой подчиняются числа, составляющие ряд. Если каждый член данного ряда представляет собой дробь, числитель которой равен удвоенному номеру члена, то n-й член ряда будет иметь числитель, равный 2n. Знаменатели дробей представляют собою арифметическую прогрессию, разность которой равна 3. Следовательно, легко догадаться, какой формулой запишется знаменатель дроби n-го члена. Таким образом, простейшая формула n-го члена данного ряда будет найдена. 
 
 Следует обратить  внимание на следующие обстоятельства: Если заданы лишь несколько первых членов ряда, то нельзя считать, что задан ряд, так как всегда можно построить бесчисленное множество рядов, первыми членами которых будут заданные числа. В самом деле, если, например, заданы первые два члена ряда, то с одинаковым успехом можно предположить, что общим членом ряда являются различные выражения, первые два члена которых совпадают. Таким образом, первые несколько членов ряда не определяют единственный ряд. Чтобы вполне определить ряд, надо задать формулу его n-го члена. Более того, конечное число первых членов ряда может и не подчиняться закону построения ряда, то есть может оказаться, что эти члены нельзя определить по формуле n-го члена. В этом случае при задании ряда обязательно выписываются все его члены, которые не могут быть вычислены по формуле n-го члена, указывается формула n-го члена и номер члена ряда, начиная с которого эта формула применима.
 
 Зачастую можно написать шесть первых членов ряда, если даны некоторые общие ограничения. Например, из условия задачи, первые два члена ряда не могут быть определены из формулы его общего члена, формула верна, начиная лишь с третьего члена ряда. Поэтому выписываем данные два первых члена, а остальные вычисляем по формуле общего члена; подставляя в нее вместо n последовательно числа 3, 4, 5. 
Не редко бывает удобным записать ряд, используя знак суммы. Так как любой член ряда может быть вычислен по формуле общего члена, то краткая запись данного ряда будет иметь соответствующий вид.
 
 Пользуясь непосредственно определением суммы ряда, можно показать, что этот ряд сходится, и найти его сумму двумя способами. С одной стороны, достаточно составит последовательность частичных сумм заданного ряда и увидеть, что представляют собой первые частичные суммы дроби. Потом методом полной математической индукции доказывается, что формула верна. С другой стороны – можно представить общий член ряда в виде суммы двух дробей, то есть разложим дробь на простейшие, пользуясь методом неопределенных коэффициентов. Представляя потом каждый член данного ряда в виде суммы двух слагаемых, мы получим выражение для n-й частичной суммы.
 
 Для получения полной картины о поведении ряда, не мешает знать основные признаки сходимости положительных рядов. Исследовать вопрос о поведении ряда можно с помощью необходимого признака сходимости. Для этого находят предел n-ого члена ряда при n стремящемся к бесконечности. Если он не стремится к нулю, то заданный ряд не удовлетворяет необходимому признаку сходимости и, следовательно, расходится. Интересным примером расходящегося ряда, может служить гармонический ряд. Таким образом, установить сходимость или расходимость ряда можно с помощью теорем о сравнении рядов, сравнивая данный ряд с гармоническим рядом. Не редко эффективнее установить с помощью признака Даламбера, сходится или расходится ряд, чем сравнивать ряд с гармоническим, а так же с помощью интегрального признака исследовать на сходимость ряд. Следовательно, типовые задания можно формулировать так: «Установить сходимость или расходимость указанных рядов с помощью теорем сравнения», либо конкретнее «Установить сходимость или расходимость указанных рядов с помощью признака Коши», «Установить сходимость или расходимость указанных рядов с помощью интегрального признака». Поэтому возникают трудности, когда требуется установить сходимость или расходимость рядов, выбрав самостоятельно для исследования в каждой задаче подходящий признак сходимости (расходимости) ряда.
 
 Особо стоит отметить знакопеременные ряды.
Исследование на сходимость такого ряда начинается с проверки убывают ли по абсолютной величине его члены. А далее, по признаку Лейбница, можно делать выводы сходится ли данный ряд. Дополнительно потребуется выяснить, как сходится данный ряд: абсолютно или условно (неабсолютно). Для этого исследуют на сходимость соответствующий ему знакоположительный ряд. Если, в задаче знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится; то данный ряд сходится условно (неабсолютно). В случаях, когда применение признака Лейбница связано с громоздкими выкладками, выгодно сразу же исследовать знакопеременный ряд на абсолютную сходимость с помощью признака Даламбера (или Коши). Если признак Даламбера (или Коши) устанавливает, что ряд, составленный из абсолютных величин членов заданного ряда, сходится, то заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно. Если же признак Даламбера (или Коши) устанавливает, что ряд, составленный из абсолютных величин членов заданного ряда, расходится, то заданный знакопеременный ряд не может сходиться даже условно, т. е. он расходится.
 
При изучении функциональных рядов, важную роль играет их равномерная сходимость. Полезно бывает показать, что в некотором интервале функциональный ряд сходится равномерно. Для этого пользуются признаком Вейерштрасса. Абсолютная сходимость легко доказывается с помощью признака Даламбера.  Основные формулы рекомендуем запомнить. Обращаем Ваше внимание на то, что ряды для ех, sin(x) и cos(x) сходятся к соответствующим функциям при всех значениях х. Формулами можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, то есть для разложения функций по целым положительным степеням (х – а).  Не редко, над заданной функцией необходимо произвести тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций, в которой вместо х стоит k(х – а)n, где k — постоянное, n — целое положительное число. Конечно, если таких преобразований сделать не удастся, то следует произвести разложение по формуле Тейлора. Приведенные идеи являются иллюстрацией теоремы о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые сходились бы к одной и той же функции, каким бы способом это разложение не производилось.
Не секрет, что всякую аналитическую функцию (т. е. функцию, которую можно представить в виде степенного ряда) можно определить через ее степенной ряд и, исходя из этого определения, вывести все свойства функции. Этот способ определения функции употребляется при задании некоторых функций.
 
 Как видим, производить тождественные преобразования над общим членом ряда тоже надо уметь, пригодится так же и умение разложить данную дробь на простейшие. В итоге можно получить знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, поэтому если возьмем в качестве приближенного значения суммы этого ряда сумму нескольких первых его членов, то будем иметь не большую абсолютную погрешность.
При исследовании функций важно знать её точки непрерывности. Разумеется, ведь все точки непрерывности являются правильными точками в некотором смысле. Заметим, однако, что определение понятия определенного интеграла от кусочно-дифференцируемой функции остается обычным, и для его вычисления проще всего взять сумму интегралов по промежуткам, полученным включением концов интервалов непрерывности (на концах интервалов функции доопределяются по непрерывности).  Напомним, что радиус сходимости степенного ряда равен расстоянию от точки, в окрестности которой производится расслоение, до ближайшей особой точки функции. Применяя различные методы, легко найти разложение в ряд по степеням х для многих функций.
 

 

cup Вход на сайт

www.megastock.ru Univer2.Ru. Copyright © 2010. All rights reserved.